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Comprender el factorial (!) En matemáticas y estadística

Comprender el factorial (!) En matemáticas y estadística

En matemáticas, los símbolos que tienen ciertos significados en el idioma inglés pueden significar cosas muy especializadas y diferentes. Por ejemplo, considere la siguiente expresión:

3!

No, no usamos el signo de exclamación para mostrar que estamos entusiasmados con tres, y no deberíamos leer la última oración con énfasis. En matemáticas, la expresión 3! se lee como "tres factoriales" y es realmente una forma abreviada de denotar la multiplicación de varios números enteros consecutivos.

Dado que hay muchos lugares en las matemáticas y las estadísticas donde necesitamos multiplicar los números, el factorial es bastante útil. Algunos de los principales lugares donde aparece son la combinatoria y el cálculo de probabilidad.

Definición

La definición del factorial es que para cualquier número entero positivo norte, el factorial:

norte! = n x (n -1) x (n - 2) x… x 2 x 1

Ejemplos de valores pequeños

Primero veremos algunos ejemplos del factorial con valores pequeños de norte:

  • 1! = 1
  • 2! = 2 x 1 = 2
  • 3! = 3 x 2 x 1 = 6
  • 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
  • 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
  • 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
  • 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
  • 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
  • 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
  • 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Como podemos ver, el factorial se hace muy grande muy rápidamente. ¡Algo que puede parecer pequeño, como 20! en realidad tiene 19 dígitos.

Los factoriales son fáciles de calcular, pero pueden ser algo tediosos de calcular. Afortunadamente, muchas calculadoras tienen una clave factorial (busque el símbolo!). Esta función de la calculadora automatizará las multiplicaciones.

Un caso especial

Otro valor del factorial y uno para el que no se cumple la definición estándar anterior es el factorial cero. Si seguimos la fórmula, ¡entonces no llegaríamos a ningún valor para 0 !. No hay números enteros positivos menores que 0. ¡Por varias razones, es apropiado definir 0! = 1. El factorial para este valor se muestra particularmente en las fórmulas para combinaciones y permutaciones.

Cálculos más avanzados

Cuando se trata de cálculos, es importante pensar antes de presionar la tecla factorial en nuestra calculadora. Para calcular una expresión como 100! / 98! Hay un par de formas diferentes de hacerlo.

¡Una forma es usar una calculadora para encontrar los 100! y 98 !, luego dividir uno por el otro. Aunque esta es una forma directa de calcular, tiene algunas dificultades asociadas. ¡Algunas calculadoras no pueden manejar expresiones tan grandes como 100! = 9.33262154 x 10157. (La expresión 10157 es una notación científica que significa que multiplicamos por 1 seguido por 157 ceros.) ¡No solo este número es masivo, sino que también es solo una estimación del valor real de 100!

Otra forma de simplificar una expresión con factoriales como la que se ve aquí no requiere una calculadora en absoluto. ¡La forma de abordar este problema es reconocer que podemos reescribir 100! no como 100 x 99 x 98 x 97 x… x 2 x 1, sino como 100 x 99 x 98! La expresión 100! / 98! ahora se convierte en (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.