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Decadencia exponencial y cambio porcentual

Decadencia exponencial y cambio porcentual

Cuando una cantidad original se reduce por una tasa constante durante un período de tiempo, se produce una disminución exponencial. Este ejemplo muestra cómo trabajar un problema de velocidad constante o calcular el factor de disminución. La clave para comprender el factor de descomposición es aprender sobre el cambio porcentual.

La siguiente es una función de disminución exponencial:  

y = a (1-b)X

dónde:

  • "y" es la cantidad final restante después de la descomposición durante un período de tiempo
  • "a" es la cantidad original
  • "x" representa el tiempo
  • El factor de descomposición es (1-b).
  • La variable, b, es el cambio porcentual en forma decimal.

Debido a que este es un factor de descomposición exponencial, este artículo se centra en el porcentaje de disminución.

Formas de encontrar el porcentaje de disminución

Tres ejemplos ayudan a ilustrar formas de encontrar el porcentaje de disminución:

El porcentaje de disminución se menciona en la historia

Grecia está experimentando una tremenda tensión financiera porque debe más dinero del que puede pagar. Como resultado, el gobierno griego está tratando de reducir cuánto gasta. Imagine que un experto le ha dicho a los líderes griegos que deben reducir el gasto en un 20 por ciento.

  • ¿Cuál es el porcentaje de disminución, b, del gasto de Grecia? 20 por ciento
  • ¿Cuál es el factor de descomposición del gasto de Grecia?

Factor de descomposición:

(1 - b) = (1 - .20) = (.80)

El porcentaje de disminución se expresa en una función

A medida que Grecia reduce su gasto público, los expertos predicen que la deuda del país disminuirá. Imagine si la función de la deuda anual del país pudiera modelarse:

y = 500 (1 - .30)X

donde "y" significa miles de millones de dólares y "x" representa el número de años desde 2009.

  • ¿Cuál es el porcentaje de disminución, b, de la deuda anual de Grecia? 30 por ciento
  • ¿Cuál es el factor de descomposición de la deuda anual de Grecia?

Factor de descomposición:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

El porcentaje de disminución está oculto en un conjunto de datos

Después de que Grecia reduzca los servicios y salarios del gobierno, imagine que estos datos detallan la deuda anual proyectada de Grecia.

  • 2009: $ 500 mil millones
  • 2010: $ 475 mil millones
  • 2011: $ 451.25 mil millones
  • 2012: $ 428.69 mil millones

Cómo calcular el porcentaje de disminución

A. Elija dos años consecutivos para comparar: 2009: $ 500 mil millones; 2010: $ 475 mil millones

B. Use esta fórmula:

Porcentaje de disminución = (más viejo-más nuevo) / más viejo:

(500 mil millones - 475 mil millones) / 500 mil millones = .05 o 5 por ciento

C. Verifique la consistencia. Elija otros dos años consecutivos: 2011: $ 451.25 mil millones; 2012: $ 428.69 mil millones

(451.25 - 428.69) / 451.25 es aproximadamente .05 o 5 por ciento

Porcentaje de disminución en la vida real

La sal es el brillo de los bastidores de especias estadounidenses. Glitter transforma el papel de construcción y los dibujos en bruto en tarjetas del Día de la Madre; La sal transforma los alimentos insípidos en favoritos nacionales. La abundancia de sal en las papas fritas, las palomitas de maíz y la tarta hipnotiza las papilas gustativas.

Desafortunadamente, demasiado sabor puede arruinar algo bueno. En manos de adultos con mano dura, el exceso de sal puede provocar presión arterial alta, ataques cardíacos y accidentes cerebrovasculares. Recientemente, un legislador anunció una legislación que obligaría a los ciudadanos y residentes estadounidenses a reducir la sal que consumen. ¿Qué pasa si se aprueba la ley de reducción de sal y los estadounidenses comienzan a consumir menos del mineral?

Supongamos que cada año, los restaurantes tienen la obligación de reducir los niveles de sodio en un 2.5 por ciento anual, a partir de 2017. La disminución prevista de los ataques cardíacos se puede describir mediante la siguiente función:

y = 10,000,000 (1 - .10)X

donde "y" representa el número anual de ataques cardíacos después de "x" años.

Aparentemente, la legislación valdría la pena. Los estadounidenses se verían afectados con menos golpes. Aquí hay proyecciones ficticias para trazos anuales en Estados Unidos:

  • 2016: 7,000,000 golpes
  • 2017: 6,650,000 golpes
  • 2018: 6.317.500 golpes
  • 2019: 6,001,625 golpes

Preguntas de muestra

¿Cuál es el porcentaje obligatorio de disminución en el consumo de sal en los restaurantes?

Respuesta: 2.5 por ciento

Explicación: Se predice que disminuirán tres cosas diferentes: niveles de sodio, ataques cardíacos y derrames cerebrales. Cada año, a los restaurantes se les ordenó disminuir los niveles de sodio en un 2.5 por ciento anual, a partir de 2017.

¿Cuál es el factor de descomposición obligatorio para el consumo de sal en los restaurantes?

Respuesta: .975

Explicación: Factor de descomposición:

(1 - b) = (1 - .025) = .975

Según las predicciones, ¿cuál sería el porcentaje de disminución de los ataques cardíacos anuales?

Respuesta: 10 por ciento

Explicación: La disminución prevista de los ataques cardíacos se puede describir mediante la siguiente función:

y = 10,000,000 (1 - .10) x

donde "y" representa el número anual de ataques cardíacos después de "x" años.

Según las predicciones, ¿cuál será el factor de descomposición de los ataques cardíacos anuales?

Respuesta: .90

Explicación: Factor de descomposición:

(1 - b) = (1 - .10) = .90

Según estas proyecciones ficticias, ¿cuál será el porcentaje de disminución de los accidentes cerebrovasculares en Estados Unidos?

Respuesta: 5 por ciento

Explicación:

A. Elija datos por dos años consecutivos: 2016: 7,000,000 golpes; 2017: 6,650,000 golpes

B. Use esta fórmula: Porcentaje de disminución = (más antiguo - más nuevo) / más antiguo

(7,000,000 - 6,650,000) / 7,000,000 = .05 o 5 por ciento

C. Verifique la coherencia y elija datos para otro conjunto de años consecutivos: 2018: 6,317,500 golpes; 2019: 6,001,625 golpes

Porcentaje de disminución = (más antiguo - más nuevo) / más antiguo

(6,317,500 - 6,001,625) / 6,001,625 aproximadamente .05 o 5 por ciento

Según estas proyecciones ficticias, ¿cuál será el factor de descomposición de los accidentes cerebrovasculares en Estados Unidos?

Respuesta: .95

Explicación: Factor de descomposición:

(1 - b) = (1 - .05) = .95

Editado por Anne Marie Helmenstine, Ph.D.